روشی برای ارزیابی مدول یانگ از مواد پلی کریستال بافت دار
دراین مطالعه، روشی برای ارزیابی مدول مواد پلی کریستال بافت دار و غیر بافتی براساس تحلیل عنصر محدود مورد بررسی قرار گرفته است که با استفاده از مدل های سه بعدی پلی کریستال از یک ساختار تصادفی تولید شده با مفروش سازی Voronoi قابل اجرا است. ابتدا، توزیع تنش / فشار محلی و تأثیر آن بر خواص الاستیک ماکروسکوپی بررسی شد. سپس رابطۀ آماری بین مدول یانگ بدست آمده از تحلیل عنصر محدود و میانگین مدول یانگ از تمام دانه های ارزیابی شده براساس مدل Vigot یا Reuss نیز بررسی شد. در ادامه، مشخص شد که تنش / کرنش موضعی در بدنۀ پلی کریستال تحت تأثیر جهت گیری کریستال و محدودیت تغییر شکل از دانه های مجاور است؛ در حالی که در صورت بزرگ بودن دانه ها، جهت گیری کریستال روی مدول یانگ از ساختار پلی کریستال تأثیر می پذیرد. همچنین نشان داده شده است که مدول یانگ با میانگین مدول یانگ در تمام دانه ها به خوبی در ارتباط است، که در این ارتباط اندازه دانه ها بطور متوسط در نظر گرفته می شود. در آخر، روشی برای ارزیابی مدول یانگ از مواد بافت دار و غیر بافتی پیشنهاد شد. این مدول در مواد مختلف را میتوان با توجه به ثبات های الاستیک تک کریستال و توزیع پلی کریستال و حتی اندازۀ دانه ها تخمین زد که تمام این موارد را نیز میتوان با استفاده از پراش الکترونی برگشتی (EBSD) بدست آورد.
از آنجا که مواد خطی پلی کریستال متشکل از مجموعه دانه های کریستال در اندازه و اشکال مختلف است، خواص ماکروسکوپی آن تحت تأثیر خواص دانه های فردی قرار می گیرد. تغییر شکل الاستیک در کریستال منفرد در اکثر موارد نشان دهندۀ ایزوتروپی است و به جهت گیری کریستال بستگی دارد. با این حال درصورتی که مواد دارای بافت کریستالوگرافی و مورفولوژیکی تصادفی باشند، ازنظر تغییر شکل الاستیک میتوان رفتار ماکروسکوپی مواد پلی کریستال را ایزوتروپیک و همگن دانست. اثربخشی جهت گیری کریستال در دانه های فردی بر قابلیت ارتجاع سنگدانه اندک است. بنابراین، برای مهندسی مواد سازه ای ما خواص این دانه ها را مدنظر قرار نمی دهیم؛ بلکه خواص کلی آنها من جمله مدول یانگ و نسبت پواسون را ملاک قرار می دهیم. با این حال، ممکن است این فرض درست نباشد که مواد از دانه های کافی تشکیل نشده است. مدول یانگِ میکرو سازۀ متشکل از دانه های کم علاوه بر الاستیسیتۀ کریستال منفرد، به جهت گیری کریستال در دانه های فردی نیز وابسته است. حتی اگر تعداد دانه های به اندازه کافی زیاد باشد، این مدول با جهت گیری کریستال در هر دانه مادۀ بافت دار را تحت تأثیر قرار می دهد. همچنین برای ارزیابی این مدول از چنین ساختارهایی، شناسایی خواص محلی مانند الاستیسیته و جهت گیری کریستال در هر دانه بسیار مهم است. اگرچه شناسایی جهت گیری کریستال در تمام دانه ها دشوار است، اما میتوان با استفاده از پراش اشعه X یا پراش برگشتی الکترون (EBSD) توزیع آماری آن را بدست آورد. در صورت موفقیت با این روش، میتوان مدول یانگ در سنگدانه را با کمک میانگین مدول یانگ در هر دانه براساس یک فرض هندسی ارزیابی کرد.
با این حال، همانطور که در قسمت های بعدی بطور مفصل بیان شده است، وضعیت هندسی (کرنش یا تنش محلی یکنواخت) در دانۀ کریستال به دلیل پیچیدگی ساختار هندسی آن دانه مشخص نیست. علاوه براین، هندسۀ پیچیده باعث ایجاد تنش یکنواخت در سطح ریزساختاری، حتی در شرایط تنش از راه دور یکنواخت می شود. محدودیت تغییر شکل ناشی از دانه های مجاور و همچنین تغییر در مدول محلی یانگ باعث ایجاد تنش (یا فشار) زیاد در نزدیکی مرز دانه می شود. چنین فشار غیریکنواختی ممکن است مدول یانگ ماکروسکوپی را تحت تأثیر قرار دهد. برای بررسی کمّی اثرات هندسۀ پیچیده و توزیع تنش محلی بر مواد خطی پلی کریستال، استفاده از رویکرد عددی مانند روش عنصر محدود ضروری است؛ چرا که نشان داده است که تنش محلی و توزیع کرنش می توانند با استفاده از یک مدل بازسازی شده از ساختار دانه و جهت گیری های کریستال برطرف شوند. تلاش های بسیاری برای ارزیابی مدول یانگ ازطریق تحلیل عنصر محدود الاستیک (FEA) با استفاده از مدل های پلی کریستال که با کمک قالب Voronoi ساخته شده و و جهت گیری های کریستال آنها نیز بطور تصادفی تعیین شده اند؛ صورت گرفته است. نتایج بدست آمده از FEA نشان دهندۀ مدول یانگ معقولی هستند، اگرچه آنها با مواد بافت دار تیمار نشده اند. هدف از این مطالعه تعیین کمیّت تأثیر بافت در مدل یانگ از مواد پلی کریستال است. مدل های عنصر محدود پلی کریستال سه بعدی از ساختار تصادفی با استفاده از قالب Voronoi تولید شد. توزیع تنش / کرنش محلی و اثربخشی آن بر خواص ارتجاعی نیز مورد بررسی قرار گرفت. سپس ارتباط آماری بین مدول یانگ بدست آمده از FEA و میانگین مدول یانگ محلی برای تمام دانه های بررسی شده و روشی برای ارزیابی این مدول از جهت گیری کریستال (یا توزیع آنجا) توسعه داده شد. ضریب برآورد شدۀ یانگ با نتایج آزمایشی بدست آمده با استفاده از نمونه های مواد بافت دار و غیر بافتی مقایسه شد؛ در نهایت، این روش برای مواد مختلف با درجۀ متفاوت ناهمسانگردی تعمیم پیدا کرد.
مدل دو کریستالی:
تغییر مدول یانگ در مدل دو کریستالی با زاویه چرخش دانۀ 1 در شکل زیر ارائه شده است.
شکل 1: تغییر مدول یانگ در مدل دو کریستالی با زاویه چرخش دانۀ 1
دانه 1 از صفحه 100 به صفحه 110 باتوجه به محور بارگذاری چرخانده شد؛ در حالی که دانۀ 2 در صفحه 100 ثابت ماند. از ثبات های الاستیک SS نیز استفاده شد. از آنجا که ساختار دانه در مدل دو کریستالی همان مدل Reuss است، تغییر در مدول یانگ (EFEM) تقریبآ مشابه با ER بود. با این حال، EFEM دقیقآ همان ER نیست. شکل زیر تنش (r₂₂) و کرنش (e₂₂) در نزدیکی سطح بدنه را نشان می دهد؛ زمانی که h=45̄̄ باشد.
شکل 2: نرمال سازی تنش (r₂₂/r₀) و کرنش (e₂₂/e₀) در خط سطحی (مدل دو کریستالی)
در اینجا، تنش و کرنش با تفسیر نقاط انتگرال مجاور عناصر جامد بدست آمد و به ترتیب با مقادیر ماکروسکوپی r₀(=P₀/W²) و e₀(=d₀/L) نرمال شدند. طبق فرضیۀ Reuss، فشار بایستی در تمام بدنه یکسان باشد. با این حال برخی تغییرات در تنش مشاهده شد؛ اگرچه مقدار آنها بسیار کمتر از فشار بود. محدودیت تغییر شکل بین دانه ها باعث انحراف از مدل ایده آل Reuss و تغییر در تنش و کرنش در مجاورت مرز دانه می شود. میزان اختلاف بین EFEM و ER بسیار کمتر از میزان تغییر در مدول یانگ ناشی از چرخش دانۀ 1 است.
توزیع تنش و کرنش در مدل های پلی کریستال:
در شکل زیر تغییرات تنش (r₂₂) و کرنش (e₂₂) در امتداد یک خط موازی با محور بارگذاری در مدل های N16 و N128 ارائه شده است.
شکل 3: تنش نرمال (r₂₂/r₀) و کرنش (e₂₂/e₀) در خط سطحی (مدل های پلی کریستال)
جهت گیری کریستال بصورت تصادفی تعیین شده و از ثبات های الاستیک SS نیز استفاده شد. در بدنۀ پلی کریستال، هر دو مدل Voigt و Reuss به دلیل پیچیدگی ساختار دانه مناسب نیستند. میزان تنش و فشار مشابه بود و این بدان معنا است که هیچ یک از مدل های Voigt و Reuss در بدنۀ پلی کریستال غالب نیستند. تنش و فشار تمایل به تغییر دانه به دانه دارند که نشان می دهد تنش (کرنش) دانه در درجه اول با جهت گیری کریستال کنترل می شود.
مدول یانگ از بدنۀ پلی کریستال:
براساس شکل زیر، رابطۀ بین مدول یانگ بدست آمده از FEA (EFEM) و نمونه بدست آمده از مدل های Voigt (Ev) وReuss (ER) ارزیابی شده است.
شکل 4: مقایسه مدول یانگ بدست آمده از FEA (EFEM) و تخمین (جهت گیری های کریستال از مواد بافت دار بدست آمده اند)
باتوجه به تفاوت در درجۀ بافت کریستالوگرافی نمونه ها و ترکیب جهت گیری های کریستالی، مدول یانگ تغییرات زیادی را نشان داد و دامنۀ تغییر مدل N16 نیز بیشتر از مدل N128 بود. تأثیر مدول یانگ محلی در هر دانه بر مدول یانگ در مدل هایی با دانه های کمتر نسبتآ بیشتر است. علی رغم تنوع زیاد، EV و ER با EFEM همبستگی خوبی دارند و به ترتیب محدودۀ بالا و پایین EFEM را تشکیل می دهند. این امر نشان می دهد که این مدول از لحاظ پلی کریستال تا حد زیادی به ترکیب جهت گیری های کریستال بستگی دارد. ابهام وضعیت هندسی (فشار یا تنش محلی یکنواخت) و محدودیت تغییر شکل نیز این مدول را در بدنۀ پلی کریستال تحت تأثیر قرار می دهد؛ اگرچه به نظر می رسد که اثربخشی نسبتآ کمی داشته باشد. در مدل N16، EFEM به ER نزدیکتر است تا EV. مدل پلی کریستال یک مکعب مستطیل با خطوط موازی است و از لحاظ بارگذاری طولانی تر است. بنابراین، این مدل تمایل دارد که شرایط تنش محلی یکنواخت (مدل Reuss) را از لحاظ آماری تأمین کند که این اثر با افزایش تعداد دانه ها کاهش می یابد.
ارزیابی مدول یانگ در فولاد ضد زنگ:
از آنجا که EFEM در بدنۀ پلی کریستال حاوی تعداد زیادی از دانه ها با ER و EV همبستگی خوبی دارد، با ارزیابی این همبستگی میتوان مدول یانگ را از مواد ER و EV بصورت کمّی محاسبه کرد. با استفاده از مدل N1024، این همبستگی از 1000 محاسبه با استفاده از 200 ترکیب جهت گیری کریستال برای هر گروه داده حاصل می شود. ازطرفی با وجود این همبستگی، یک رگرسیون خطی منتج به معادلات زیر می شود:
(1)
EFEA = 1.00EV - 21.5
(2)
EFEA = 1.21ER – 2.17
انحراف خط رگرسیون برای مدل Voigt تقریبآ همسان است، در حالی که برای مدل Reuss1.2 است. با این حال، EFEM تمایل دارد که در مدول کوچک یانگ به ER نزدیکتر باشد. از آنجه که معادلۀ 1 آسان تر است، مدول یانگ با معادلۀ زیر تخمین زده شد:
(3)
Eest = Ev – 21.5
Eest به معنای مدول تخمینی یانگ است. براساس این معادله، مدول یانگ در هر نمونه با استفاده از 2000 جهت گیری کریستال در هر گروه داده ارزیابی شده است. با کمک اندازه گیری جهت گیری کریستال در نمونه ها، محل دانه های مشاهده شده در سطح و جهت گیری کریستال مشخص شد. بطور کلی، تفاوت مدول یانگ در نمونه ها را می توان با بافت کریستالوگرافی تفسیر کرد. باوجود تغییرات زیاد در این مدول به دلیل بافت، می توان آن را ازطریق اندازه گیری جهت و اندازۀ کریستال ها با استفاده از EBSD ارزیابی کرد.
ارزیابی مدول یانگ در مواد مختلف:
ارزیابی مدول یانگ با استفاده از معادلۀ 3 فقط برای فولاد ضد زنگ معتبر است. برای اعمال این روش در موارد مختلف، میزان همبستگی در چندین ماده مورد بررسی قرار گرفت که نتایج بدست آمده در جدول زیر ارائه شده است.
جدول 1: ثبات های الاستیک بکار رفته در تحلیل ها (GPa)
با کمک مدل N1024، این همبستگی از 1000 محاسبه با استفاده از 200 ترکیب از جهت گیری کریستال برای هر گروه داده بدست آمد. پارامترهای ناهمسانگردی کششی در این همبستگی حاصله با معادلۀ زیر تعریف شده اند:
(4) 
A نشان دهندۀ پارامتر بیانگر همبستگی تعریف شده توسط معادلۀ زیر است:
(5) 
Ev₀ به معنای مدول یانگ از یک مادۀ غیر بافتی محاسبه شده توسط هاسفورد است.
نتیجه گیری
برای تعیین کمیّت میزان اثربخشی بافت کریستالوگرافی در مدول مواد پلی کریستال یانگ، مدل های سه بعدی پلی کریستال با استفاده از روش عنصر محدود مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفتند. همچنین عوامل کنترل کنندۀ این مدول نیز بررسی شده و روشی برای ارزیابی آن از مواد بافت دار و غیر بافتی پیشنهاد شد. نتایج بدست آمده بشرح زیر هستند:
